path とか url に proc を渡す。第1引数に Attachment オブジェクトが入ってきます。
has_attached_file(:header_image, :path => proc { |attachment| ":rails_root/public/images/games/#{ attachment.instance.code }/header_image.:extension" }, :url => proc { |attachment| "/images/games/#{ attachment.instance.code }/header_image.:extension" })
attachment.instance でモデルのオブジェクトがとれます。